Question

如图，A，B是双曲线

x2

4

-y²=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E．
（1）求点E的轨迹W的方程；
（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx（k＞0）与W的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知A（-2，0），B（2，0），设C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），则

x02

4

-y02=1，由两点式分别得直线AC，BD的方程为直线AC：

y

y0

=

x+2

x0+2

，直线BD：

y

-y0

=

x-2

x0-2

，由此能求出点E的轨迹W的方程．
（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立

x2 4 +y2=1 y=kx

，得（4k²+1）x²=4，由此利用弦长公式结合已知条件能求出四边形MPNQ的面积取最大值．

解答： 解：（1）由已知A（-2，0），B（2，0），
设C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），则

x02

4

-y02=1，①
由两点式分别得直线AC，BD的方程为：
直线AC：

y

y0

=

x+2

x0+2

，直线BD：

y

-y0

=

x-2

x0-2

，
两式相乘，得

y2

-y02

=

x2-4

x02-4

，②
由①，得-y02=1-

x02

4

=

4-x02

4

，代入②，得：

y2

4-x02 4

=

x2-4

x02-4

，
整理，得-4y²=x²-4，
∴点E的轨迹W的方程

x2

4

+y2=1．
（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），
联立

x2 4 +y2=1 y=kx

，得（4k²+1）x²=4，
∴P（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），Q（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
四边形MPNQ的面积S=S_△QOM+S_△DMP+S_△NOP+S_△NOQ
=2（S_△QMP+S_△QNP），
∴S=

1

2

(

1

2

|OM|•yP+

1

2

|ON|•xP)=2y_P+x_P
=

2(2k+1)

4k2+1

=2

(2k+1)2 4k2+1

=2

4k2+1+4k2 4k2+1

=2

1+ 4k 4k2+1

=2

1+ 4 4k+ 1 k

，
∵k＞0，∴4k+

1

k

≥4，
故当且仅当4k=

1

k

，即k=

1

2

时，四边形MPNQ的面积取最大值为2

2

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．