Question

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为

4

5

，且过点（

10 2

3

，1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l切圆M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于B点，且与椭圆C有且只有一个交点A，求|AB|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知得

c

a

=

4

5

，

200 9

a2

+

1

b2

=1，a²=b²+c²，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，直线AB的方程为：y=kx+m，联立

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，得：（25k²+9）x²=50kmx+25（m²-9），由此利用直线与椭圆相切、直线与圆相切、弦长公式能，结合已知条件能求出|AB|的最大值．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
∵椭圆C的离心率为

4

5

，且过点（

10 2

3

，1），
∴

c

a

=

4

5

，

200 9

a2

+

1

b2

=1，a²=b²+c²，
解得a²=25，b²=9，
故椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

9

=1.6分
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为：y=kx+m，
∵A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有

x2 25 + y2 9 =1 y=kx+m

，
消去y得：（25k²+9）x²=50kmx+25（m²-9），
由于直线与椭圆相切，故△=（50km）²-4（25k²+9）×25（m²-9）=0，
从而可得：m²=9+25k²，①x1=-

25k

m

，②
由

x2+y2=R2 yy=kx+m

．
消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0
由于直线与圆相切，得m²=R²（1+k²），③，x2=-

kR2

m

④
由①③得：k2=

R2-9

25-R2

，
∴|AB|2=(x1-x2)2+(y2-y1)2=（1+k²）（x₂-x₁）²
=

m2

R2

•

k2(25-R2)

m2

=

R2-9

R2

•

(25-R2)2

25-R2

=25+9-R²-

225

R2

≤34-2

R2× 225 R2

=4．
即|AB|≤2，当且仅当R=

15

时取等号，
∴|AB|的最大值为2． 13分．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的最大值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．