考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：设α，β，γ为p（x）=0的三个根，由根与系数关系α+β+γ=-a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=-c得：a
2-2b=α
2+β
2+γ
2．原式可变形为6（α+β+γ）（α
2+β
2+γ
2）-10（α
2+β
2+γ
2）
≤27αβγ，分类讨论，不妨设α
2+β
2+γ
2=9，则γ
2≥3，2αβ≤α
2+β
2=9-γ
2≤6．①变形为2（α+β+γ）-αβγ≤10，即可得出结论．
解答：
证明：设α，β，γ为p（x）=0的三个根，由根与系数关系α+β+γ=-a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=-c
得：a
2-2b=α
2+β
2+γ
2．
原式可变形为6（α+β+γ）（α
2+β
2+γ
2）-10（α
2+β
2+γ
2）
≤27αβγ ①．
若α
2+β
2+γ
2=0，则①成立．
若α
2+β
2+γ
2＞0，不妨设|α|≤|β|≤|γ|，
由①的齐次性，不妨设α
2+β
2+γ
2=9，则γ
2≥3，2αβ≤α
2+β
2=9-γ
2≤6．
①变形为2（α+β+γ）-αβγ≤10．
因[2（α+β+γ）-αβγ]
2=[2（α+β）+（2-αβ）γ
2]≤[4+（2-αβ）
2][（α+β）
2+γ
2]
=（αβ+2）
2（2αβ-7）+100≤100，
所以，2（α+β+γ）-αβγ≤10．故原式成立．
点评：本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
如图所示．△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，