Question

已知a，b，c，d均为自然数，且a⁵=b⁴，c³=d²，c-a=19，求d-b的值．

Answer 1

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算

专题：探究型

分析：分析题意，得出a为一个4次方的数，b为一个5次方的数，c为一个2次方的数，d为一个3次方的数； 由c-a=19，验证a=1⁴、a=2⁴、a=3⁴、…时，c是否满足题意，从而求出b、d的值．

解答： 解：∵a⁵=b⁴，∴a为一个4次方的数，b为一个5次方的数；
又∵c³=d²，∴c为一个2次方的数，d为一个3次方的数；
又∵c-a=19，∴c=19+a；
当a=1⁴=1时，c=19+1=20，不满足题意；
当a=2⁴=16时，c=19+16=35，不满足题意；
当a=3⁴=81时，c=19+81=100，
此时b⁴=a⁵=（3⁴）⁵=（3⁵）⁴，
∴b=3⁵=243；
d²=c³=100³=（10³）²，
∴d=10³=1000；
∴d-b=1000-243=757．

点评：本题考查了关于根式与幂的运算的应用问题，解题时应分析题意，应用验证方法进行解答与判定，是易错题．