Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的焦点相同，若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则此双曲线的半实轴长的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，求得a和b的不等式关系，进而转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．

解答： 解：由已知得双曲线的半焦距c=4，且

b

a

＜tan60°，
所以

b2

a2

=

c2-a2

a2

=

16

a2

-1＜3，a²＞4，
解得a＞2，又a＜c，
所以2＜a＜4．                                                                                                 故答案为：2＜a＜4．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、圆锥曲线的共同特征．在求双曲线实半轴长的取值范围时，注意其值要小于4．