Question

如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面构成45°的二面角，则异面直线
AC与BF所成角的大小为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：分别取AB，BC，AD，AF的中点M，N，Q，K，连接FM，MN，KN，QN，KQ，则KM∥FB，MN∥AC，所以∠KMN是异面直线AC，BF所成的角或其补角，由此能求出异面直线AC与BF所成角的大小．

解答： 解：分别取AB，BC，AD，AF的中点M，N，Q，K，连接FM，MN，KN，QN，KQ，
则KM∥FB，MN∥AC，所以∠KMN是异面直线AC，BF所成的角或其补角，
设AB=1，
由题意知∠DAF是正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面构成二面角的平面角，
∴∠DAF=45°，
∴MN=MK=

2

2

，KQ=

1 4 + 1 4 -2× 1 2 × 1 2 × 2 2

=

2- 2

2

，
∴KN=

2- 2 4 +1

=

6- 2

2

，
所以cos∠KMN=

1 2 + 1 2 - 6- 2 4

2× 1 2

=

2 -2

4

，
所以对角线AC与对角线BF对所成角的余弦值是

2- 2

4

．
所以异面直线AC与BF所成角的大小为arccos

2- 2

4

．
故答案为：arccos

2- 2

4

．

点评：找出或做出异成直线所成角是解本小题的关键，一般是在一条异面直线上取一点作另一条的平行线，如果不好做的话，可以考虑在这两条异面直线所在的两个平面的交线上取中点构造中位线来做出这个角，然后解三角形即可，本小题就属于这种情况，请认真体会．