Question

在直三棱柱中，已知底面积为s平方米，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则它的体积为

 

立方米．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：令直三棱柱的底面三角形的三边分别为a，b，c，高为h，则ah=m，bh=n，ch=p，即a=

m

h

，b=

n

h

，c=

p

h

．通过三角形的海伦面积公式，和直棱柱的体积公式，化简整理得到结果．

解答： 解：令直三棱柱的底面三角形的三边分别为a，b，c，高为h，
则ah=m，bh=n，ch=p，即a=

m

h

，b=

n

h

，c=

p

h

．
在三角形ABC中，由cosC=

a2+b2-c2

2ab

，sinC=

1-cos2C

，面积S=

1

2

absinC，
可推得海伦面积公式S=

1

4

(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

．
则S=

1

4

m+n+p h • m+n-p h • m+p-n h • n+p-m h

，
即有2

S

h=

4	(m+n+p)(m+n-p)(m+p-n)(n+p-m)

故体积V=Sh=

s

2

4	(m+n+p)(m+n-p)(p+m-n)(n+p-m)

．
故答案为：

s

2

4	(m+n+p)(m+n-p)(p+m-n)(n+p-m)

．

点评：本题考查直三棱柱的侧面积和体积的计算，以及海伦面积公式的应用，考查对字母的化简能力，属于中档题．