Question

已知O为坐标原点，

OA

=（2cos²x，1），

OB

=（a，

3

asin2x+1-a），a为非零常数．设y=

OA

•

OB

．
（1）求y关于x的函数解析式f（x）为

 

．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为3，求a的值并指出f（x）的单调增区间为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）由数量积和三角函数的运算化简可得f（x）；（2）由x∈[0，

π

2

]可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，分类讨论可得答案．

解答： 解：（1）∵

OA

=（2cos²x，1），

OB

=（a，

3

asin2x+1-a），
∴f（x）=

OA

•

OB

=2acos²x+

3

asin2x+1-a
=a（2cos²x-1）+

3

asin2x+1
=acos2x+

3

asin2x+1
=2asin（2x+

π

6

）+1
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
当a＞0时，2a+1=3，a=1，此时f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
当a＜0时，-a+1=3，a=-2，此时f（x）的单调增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
故答案为：f（x）=2asin（2x+

π

6

）+1；当a＞0时，[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；当a＜0时，[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及三角函数的运算和单调性，属基础题．