Question

抛物线顶点在坐标原点，焦点与椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的右焦点F重合，过点F斜率为2

2

的直线与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意可知，抛物线焦点F（1，0），由此能求出抛物线的方程．
（Ⅱ）直线AB的方程为y=2

2

(x-1)，联立

y=2 2 (x-1) y2=4x

，得y2-

2

y-4=0，由此利用椭圆弦长公式能求出△AOB的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知，椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的右焦点F（1，0），
故抛物线焦点F（1，0），
所以抛物线的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）直线AB的方程为y=2

2

(x-1)，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立

y=2 2 (x-1) y2=4x

，
消去x，得y2-

2

y-4=0，…（6分）
y1+y2=

2

，y₁y₂=-4，
因为S△AOB=

1

2

•1•|y1-y2|=

|y1-y2|

2

…（9分）
由|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=3

2

…（11分）
所以S△AOB=

3 2

2

．…（12分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．