Question

设函数f（x）=|x+2|+|2x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）当a＜-4时，存在x≤-2，使得f（x）-x≤4成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，去掉绝对值化简函数的解析式为f（x）=

-3x ， x＜-2  -x+4 ， -2≤x＜1  3x ， x≥1

，由此求得函数y=f（x）的值域．
（Ⅱ）当a＜-4时，f(x)-x=

-4x+a-2 ， x＜ a 2 -2-a ，  a 2 ≤x≤-2

，由题意可得所以4≥[f（x）-x]_min=-2-a，由此求得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=|x+2|+2|x-1|=

-3x ， x＜-2  -x+4 ， -2≤x＜1  3x ， x≥1

，
所以f（x）_min=f（1）=3，函数f（x）没有最大值，
所以函数y=f（x）的值域是[3，+∞）．
（Ⅱ）当a＜-4时，f(x)-x=

-4x+a-2 ， x＜ a 2 -2-a ，  a 2 ≤x≤-2

，
因存在x≤-2，使得f（x）-x≤4成立，
所以4≥[f（x）-x]_min=-2-a，即-6≤a＜-4，所以实数a的取值范围是[-6，-4）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础题．