Question

给出以下命题
①若cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0；
②已知直线x=m与函数f（x）=sinx，g（x）=sin（

π

2

-x）的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为

2

；
③若A，B是△ABC的两内角，如果A＞B，则sinA＞sinB；
④若A，B是锐角△ABC的两内角，则sinA＞cosB．
其中正确的有（　　）个．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,三角函数的图像与性质

分析：①由余弦函数的值域，得到cosα=cosβ=±1，sinα=sinβ=0，再由两角和的正弦公式，即可判断；
②运用诱导公式和两角差的正弦公式，即可求出最大值；
③由三角形的边角关系和正弦定理，即可判断；
④由于A，B是锐角△ABC的两内角，则A+B＞90°，A＞90°-B，由正弦函数的单调性和诱导公式，即可判断．

解答： 解：①若cosαcosβ=1，则由|cosx|≤1，得cosα=cosβ=±1，sinα=sinβ=0，
故sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=0，即①正确；
②若直线x=m与函数f（x）=sinx，g（x）=sin（

π

2

-x）的图象分别交于M，N两点，
则f（m）=sinm，g（m）=sin（

π

2

-m）=cosm，|MN|=|sinm-cosm|=

2

|sin（m-

π

4

）|≤

2

，即②正确；
③若A，B是△ABC的两内角，如果A＞B，则a＞b，由正弦定理得，2RsinA＞2RsinB，即
sinA＞sinB，即③正确；
④若A，B是锐角△ABC的两内角，则A+B＞90°，A＞90°-B，由正弦函数的单调性得，
sinA＞sin（90°-B）即sinA＞cosB，即④正确．
故选：D．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查三角函数的图象和性质，考查两角和差的正弦公式，以及诱导公式和正弦定理，属于基础题．