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    已知椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1和动直线y=
    3
    2
    x+m．
    （1）当动直线与椭圆相交时，求m取值范围；
    （2）当动直线与椭圆相交时，证明动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）把直线y=
    3
    2
    x+m    代入椭圆方程
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1    ，得9x2+6mx+2m2-18=0，由此利用根的判别式能求出动直线与椭圆相交时，m取值范围．
    （2）设直线与椭圆相交得到线段AB，设线段AB的中点为M（x，y），x=
    x1+x2
    2
    =-
    m
    3
    ，点M在直线y=
    3
    2
    x+m    上，二者联立能证明动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线3x+2y=0上．
    解答： （1）解：把直线y=
    3
    2
    x+m    代入椭圆方程
    x2
    4
    +
    y2
    9
    =1    化简，
    得9x2+6mx+2m2-18=0，
    △=36m2-36（2m2-18），
    ∵动直线与椭圆相交，
    ∴△＞0，解得-3
    		2
    ＜m＜3
    		2
    ，
    ∴动直线与椭圆相交时，m取值范围是（-3
    		2
    ，3
    		2
    ）．
    （2）证明：设直线与椭圆相交得到线段AB，
    并设线段AB的中点为M（x，y），
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程9x2+6mx+2m2-18=0的根，
    ∴x=
    x1+x2
    2
    =-
    m
    3
    ，
    ∵点M在直线y=
    3
    2
    x+m    上，
    与x=-
    m
    3
    联立，消去m，得3x+2y=0．
    ∴动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线3x+2y=0上．
    点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查动直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上的证明，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出以下命题
    ①若cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0；
    ②已知直线x=m与函数f（x）=sinx，g（x）=sin（
    π
    2
    -x）的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为
    		2
    ；
    ③若A，B是△ABC的两内角，如果A＞B，则sinA＞sinB；
    ④若A，B是锐角△ABC的两内角，则sinA＞cosB．
    其中正确的有（　　）个．
    A、1B、2C、3D、4

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a7=-2，S5=30．
    （Ⅰ）求a1及d；
    （Ⅱ）若数列{bn}满足an=
    b1+2b2+3b3+…+nbn
    n2
    （n∈N*），求数列{bn}的通项公式，并bn的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    抛物线顶点在坐标原点，焦点与椭圆
    x2
    5
    +
    y2
    4
    =1的右焦点F重合，过点F斜率为2
    		2
    的直线与抛物线交于A，B两点．
    （Ⅰ）求抛物线的方程；
    （Ⅱ）求△AOB的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    极坐标系中，已知点A，B的极坐标分别为（1，0），（4，0），点P是平面内一动点，且|PB|=2|PA|，动点P的轨迹为曲线C．
    （Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
    （Ⅱ）以极点为直角坐标系原点，极轴为x正半轴建立直角坐标系xOy，设点M（x，y）在曲线C上移动，求式子3x-4y+5的范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某公园的门票规定为每人5元，团体票40元一张，每张团体票最多可入园10人．
    （1）现有三个单位，游园人数分别为6，8，9．这三个单位分别怎样买门票使总门票费最省？
    （2）若三个单位的游园人数分别是16，18和19，又分别怎样买门票使总门票费最省？
    （3）若游园人数为x人，你能找出一般买门票最省钱的规律吗？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    巳知函数f（x）=
    1
    3
    ax2-bx-1nx，其中a，b∈R．
    （Ⅰ）当a=3，b=-1时，求函数f（x）的最小值；
    （Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为2x-3y-e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；
    （Ⅲ）当a＞0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1＞x2≥4，总有
    h(x1)-h(x2)
    x1-x2
    ＞-1成立，试用a表示出b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
    sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ----------①
    sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
    由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
    令α+β=A，α-β=B有α=
    A+B
    2
    ，β=
    A-B
    2
    代入③得 sinA+sinB=2sin
    A+B
    2
    cos
    A-B
    2
    ．
    （1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值．
    （2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
    A+B
    2
    sin
    A-B
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}和{bn}，其中a1=
    1
    2
    ，数列{an}的前n项和为Sn=n2an（n∈N*），数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn．
    （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （2）是否存在自然数m，使得对任意n∈N*，n≥2，有1+
    1
    b1
    +
    1
    b2
    +…+
    1
    bn-1
    ＜
    m-8
    4
    恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

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