Question

阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ----------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得 sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

．
（1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值．
（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：（1）利用sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

，代入计算，即可求sin15°+sin75°的值．
（2）通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A+B

2

，即可证明结果

解答： 解：（1）由题可得sin15°+sin75°=2sin

150+750

2

cos

150-750

2

=2sin450cos(-300)=

6

2

．--------（3分）
（2）根据两角和与差的余弦公式，有：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ…①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ…②
由①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A+B

2

代入③得cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A+B

2

--------（8分）

点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．