Question

已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（Ⅰ）求f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）若F（x）=e^xg（x）-λ[f（x）+x²]在[-2，0]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，求f（x）的解析式，利用函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称，求出g（x）的解析式；
（Ⅱ）（x）在[-2，0]是增函数，即F'（x）=e^x（-x²+2）-2λ≥0在[-2，0]恒成立，亦即2λ≤e^x（-x²+2）在[-2，0]上恒成立，即2λ≤[e^x（-x²+2）]_min在[-2，0]恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知：m=2，n=0，
∴f（x）=x²+2x…（2分）
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），则x₀=-x，y₀=-y，…（4分）
∵点Q（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上
∴-y=x²-2x，y=-x²+2x
∴g（x）=-x²+2x…（6分）
（Ⅱ） F（x）=e^x（-x²+2x）-λ•2x
∵F（x）在[-2，0]是增函数，即F'（x）=e^x（-x²+2）-2λ≥0在[-2，0]恒成立．
亦即2λ≤e^x（-x²+2）在[-2，0]上恒成立．即2λ≤[e^x（-x²+2）]_min在[-2，0]恒成立．…（8分）
令h（x）=e^x（-x²+2），而h'（x）=e^x（-x²-2x+2）…（10分）
当[-2，0]时，-x²-2x+2＞0，从而h'（x）=e^x（-x²-2x+2）＞0
∴h（x）在[-2，0]为增函数，∴[h(x)]min=h(-2)=-

2

e2

…（12分）
故λ≤-

1

e2

，实数λ的取值范围是(-∞，-

1

e2

]．…（13分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．