Question

已知点P是⊙M：（x+1）²+y²=16上的任意一点，点N（1，0），线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）已知直线l′与点Q的轨迹交于点A，B，且直线l′的方程为y=kx+

3

（k＞0），若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）连结QN，由椭圆定义知点Q的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，长轴长为2a=4，短轴长2b=2

3

的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．
（Ⅱ）联立

y=kx+ 3 x2 4 + y2 3 =1

，整理，得(4k2+3)x2+8

3

kx=0，由此利用椭圆弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△OAB面积的最大值．

解答： 解：（1）如图，如图，连结QN，
∵l是线段PN的垂直平分线，∴|QP|=|QN|，
∵|MP|=|MQ|+|QP|，∴|MQ|+|NQ|=4，
由椭圆定义知点Q的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，
长轴长为2a=4，短轴长2b=2

3

的椭圆，
其方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）联立

y=kx+ 3 x2 4 + y2 3 =1

，整理，得(4k2+3)x2+8

3

kx=0，
解得x₁=0，x2=-

8 3 k

4k2+3

，
∵k＞0，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•|-

8 3 k

4k2+3

|=

1+k2

•

8 3 k

4k2+3

，
原点O到直线l′的距离为d=

3

1+k2

，
∴S_△OAB=

1

2

1+k2

•

8 3 k

4k2+3

•

3

1+k2

=

12

4k2+3

=

12

4k+ 3 k

≤

12

4 3

=

3

，
当且仅当4k=

3

k

，即k=

3

2

时，
△OAB面积的最大值为2

3

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．