Question

定义函数f（x）=

ln(x+2)+2

x

，g（x）=

m

x+2

．
（Ⅰ）若m=3

3

，求函数y=g（x）图象上任意一点P到坐标原点的距离的最小值；
（Ⅱ）是否存在最大的正整数m，使得对任意的正数k，都存在实数a，b满足-2＜a＜b＜k，有f（k）=f（a）=f（b），如果存在，求出最大的正整数m；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程,点到直线的距离公式

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）在函数g（x）的图象上任意取一点P（x，

3 3

x+2

），则|OP|=

x2+( 3 3 x+2 )2

，根据对称性，取到最小值的点的横坐标x＞0，由此能求出函数y=g（x）图象上任意一点P到坐标原点的距离的最小值为2．
（Ⅱ）假设存在满足条件的正整数m，函数g（x）=

m

x+2

在（-2，+∞）上单调递减，f（k）=g（b）＞g（k），当x＞0时，不等式f（x）＞g（x）恒成立，由此利用导数性质推导出存在最大数m=5满足条件．

解答： 解：（Ⅰ）在函数g（x）的图象上任意取一点P（x，

3 3

x+2

），
则|OP|=

x2+( 3 3 x+2 )2

，根据对称性，取到最小值的点的横坐标x＞0，
令P（x）=x²+（

3 3

x+2

）²，p′(x)=2x-2×27(

1

x+2

)2=0，
即x（x+2）³=27，
观察得x=1是方程的一个根，且x∈（0，1），
∴P′（x）＜0，x∈（1，+∞），
∴P（x）_min=4，∴|OP|_min=2．
即函数y=g（x）图象上任意一点P到坐标原点的距离的最小值为2．
（Ⅱ）假设存在满足条件的正整数m，函数g（x）=

m

x+2

在（-2，+∞）上单调递减，
f（k）=g（b）＞g（k），
当x＞0时，不等式f（x）＞g（x）恒成立，即：

2+ln(x+2)

x

＞

m

x+2

，∴m＜

(x+2)[2+ln(x+2)]

x

，
令h（x）=

(x+2)[2+ln(x+2)]

x

，x＞0，
h′(x)=

x-4-2ln(x+2)

x

，x＞0
设p（x）=x-4-2ln（x+2），x＞0
则p′（x）=

x

x+2

＞0，x＞0，∴p（x）=x-4-2ln（x+2），x＞0是单调增函数，
而p（8）=4-2ln10＜0，p（9）=5-2ln11＞0，
存在唯一正实数x₀满足p（x₀）=0，
∴h′（x₀）=0，x₀∈（8，9），
当x∈（0，x₀）时，h′（x）0．
∴x∈（0，+∞）时，h（x）_min=h(x0)=

(x0+2)[2+ln(x0+2)]

x0

=

x0+2

2

∈（5，

11

2

），
存在最大正数m满足条件．
下面证明，当m=5时，对x∈（-2，0），有f（x）＜g（x），
即（x+2）ln（x+2）+4-3x＞0，
令r（x）=（x+2）ln（x+2）+4-3x，r′（x）=ln（x+2）-2＜0，x∈（-2，0），
∴r（x）＞r（0）=4+2ln2＞0，不等式成立，
∵函数g（x）=

m

x+2

在（0，+∞）的值域为（0，+∞），
函数f（x）=

ln(x+2)+2

x

在（0，+∞）的值域为（0，+∞），
在（-2，0）上的值域为（-∞，+∞），
∴存在实数a，b，满足-1＜a＜b＜k，有f（k）=f（a）=g（b），
∴存在最大数m=5满足条件．

点评：本题考查函数y=g（x）图象上任意一点P到坐标原点的距离的最小值的求法，考查是否存在满足条件的最大的正整数的判断与求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．