Question

若方程x+k-

1-x2

=0只有一个解，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：将方程转化为两个函数，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由x+k-

1-x2

=0得x+k=

1-x2

，
设f（x）=x+k，g（x）=

1-x2

，则函数的定义域为[-1，1]，
则g（x）对应的图象为圆的上半部分，
作出两个函数的图象，当直线与半圆相切时有一个交点，此时满足圆心到直线的距离d=

|k|

2

=1，
解得k=

2

或-

2

（舍去，此时直线截距最大），
当直线经过点A（-1，0）时，直线和半圆有2个交点，此时k=1，
但直线经过点B（1，0）时，直线和半圆有1个交点，此时k=-1，
要使直线和半圆有一个交点，此时-1≤k＜1，
综上满足条件的k的取值范围是[-1，1）∪{

2

}，
故答案为：[-1，1）∪{

2

}．

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用数形结合结合直线和圆的位置关系是解决本题的关键．