Question

设函数f（x）=plnx+

q

x2

（p＞0），若x=

2

2

时，f（x）有极小值

1

2

（1-ln2），
（1）求实数p，q的取值；
（2）若数列{a_n}中，a_n=f（n），求证：数列{a_n}的前n项和S_n≥

n

4

；
（3）设函数g（x）=alnx+bx+c（a＞0），若g（x）有极值且极值为t，则t与

4ac-b2

4a

是否具有确定的大小关系？证明你的结论．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）f′(x)=

px2-2p

x3

，由题意知

f′( 2 2 )= p 2 -2q=0 f( 2 2 )=- p 2 ln2+2q= 1 2 (1-ln2)

，由此能求出p=1，q=

1

4

．
（2）函数y=f（x）在x∈（

2

2

，+∞）上单调递增，由此能证明数列{a_n}的前n项和S_n≥

n

4

．
（3）g′(x)=

a

x

+b，a，b异号，极小值点为x=-

a

b

，t=g（-

a

b

），t-

4ac-b2

4ac

=a（ln（-

a

b

）+

b2

4a2

-1），由此利用构造法能推导出g（x）的极值t与

4ac-b2

4a

不具有明确的大小关系．

解答： （1）解：∵f（x）=plnx+

q

x2

（p＞0），
f′(x)=

px2-2p

x3

，…（1分）
∵x=

2

2

时，f（x）有极小值

1

2

（1-ln2），
∴

f′( 2 2 )= p 2 -2q=0 f( 2 2 )=- p 2 ln2+2q= 1 2 (1-ln2)

，…（3分）
解得p=1，q=

1

4

．…（4分）
（2）证明：由条件和第（1）问可知，
函数y=f（x）在x∈（

2

2

，+∞）上单调递增，…（5分）
a_n=f（n），n≥1，
∴an≥a1=

1

4

，∴Sn≥na1=

n

4

．
∴数列{a_n}的前n项和S_n≥

n

4

．…（7分）
（3）解：g′(x)=

a

x

+b，由g（x）有极值且g（x）的定义域为（0，+∞）可知：
a，b异号，极小值点为x=-

a

b

，t=g（-

a

b

），…（8分）
t-

4ac-b2

4ac

=ab（-

a

b

）-a+c-c+

b2

4a

=a（ln（-

a

b

）+

b2

4a2

-1），…（9分）
令r=-

a

b

，构造函数h（r）=lnr+

1

4r2

-1，
由条件和第（1）问可知：
r=

2

2

时，h（r）有极小值h（

2

2

）=-

1

2

(1+ln2)＜0，
而h（e）=lne+

1

4e2

-1=

1

4e2

＞0，…（11分）
∴t-

4ac-b2

4ac

可能大于0或可能等于0或可能小于0，
即g（x）的极值t与

4ac-b2

4a

不具有明确的大小关系．…（13分）

点评：本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查两数大小的比较，解题时要认真审题，注意构造法和函数性质的合理运用．