Question

如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=

1

2

BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，如图2，将△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，连接BC，BD，P是棱BC上的中点．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）若AB=2，求三棱锥B-AEP的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，取AE中点M，连接BM，DM，根据等边三角形可知BM⊥AE，DM⊥AE，BM∩DM=M，BM，DM?平面BDM，满足线面垂直的判定定理则AE⊥平面BDM，而BD?平面BDM，得到AE⊥BD．
（2）利用V_B-AEP=V_P-AEB=

1

2

V_C-AEB，即可求出三棱锥B-AEP的体积．

解答： （1）证明：设AE中点为M，连接BM，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM=M，BM、DM?平面BDM，
∴AE⊥平面BDM．
∵BD?平面BDM，∴AE⊥BD；
（2）∵面BAE⊥面AECD，面BAE∩面AECD=AE，DM⊥AE，
∴DM⊥面AECD，
∵AB=2，∴AE=2，
∴BM=DM=

3

，
∴V_B-AEP=V_P-AEB=

1

2

V_C-AEB=

1

2

×

1

3

×(

1

2

×2×

3

)×

3

=

1

2

．

点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥B-AEP的体积，解题的关键是掌握线面垂直，三棱锥体积的计算方法，属于中档题．