Question

如图所示，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆交于点D，N为BC延长线上一点，ND交△ABC的外接圆于点M．求证：
（1）DB=DC；
（2）DC²=DM•DN．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由于四点A、B、C、D共圆，可得∠EAD=∠BCD，∠DAC=∠DBC．由于AD是△ABC外角∠EAC的平分线，可得∠EAD=∠DAC，即可证明；
（2）连接BM，CM．可得∠DBM=∠DCM，∠CBM=∠CDM，再利用（1）和圆的性质可得∠N=∠DCM，即可证明△CDM∽△NDC．进而得出答案．

解答： 证明：（1）∵四点A、B、C、D共圆，∴∠EAD=∠BCD，∠DAC=∠DBC，
∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠DBC=∠BCD．
∴DB=DC．
（2）连接BM，CM．
则∠DBM=∠DCM，∠CBM=∠CDM，
∴∠N=∠BCD-∠CDM=∠DBC-∠CBM=∠DBM=∠DCM，
又∵∠CDM公用，
∴△CDM∽△NDC．
∴

CD

ND

=

DM

CD

，
∴DC²=DM•DN．

点评：本题考查了四点共圆的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，考查了推理能力和辅助线的作法，属于中档题．