Question

函数f（x）=xe^x-a有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、-

  1

  e

  ＜a＜0
• B、a＞-

  1

  e

• C、-e＜a＜0
• D、0＜a＜e

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）=xe^x-a的导函数f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，则x=-1
∵当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
故当x=-1时，函数取最小值f（-1）=-e^-1-a
若函数f（x）=xe^x-a有两个零点，
则f（-1）=-e^-1-a＜0
即a＞-

1

e

，
又∵a≥0时，x∈（-∞，-1）时，f（x）=xe^x-a＜0恒成立，不存在零点
故a＜0
综上，-

1

e

＜a＜0，
故选：A

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，利用导数是解决本题的关键．