Question

下列几个命题：
①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②函数y=

x2-1

+

1-x2

是偶函数，但不是奇函数；
③函数f（x）的定义域是[-2，2]，则函数f（x+1）的定义域为[-1，3]；
④一条曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
其中真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,数形结合,函数的性质及应用

分析：①运用判别式大于0且两根之积小于0，即可求出a的范围；
②先求函数的定义域，再化简函数，判断函数的奇偶性；
③由函数的定义域的概念，令-2≤x+1≤2，求出x的范围，即为所求函数的定义域；
④画出曲线y=|3-x²|，直线y=a，通过观察，即可得到交点个数．

解答： 解：①若方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则判别式大于0且两根之积小于0，
即（a-3）²-4a＞0且a＜0，解得a＜0，故①对；
②函数y=

x2-1

+

1-x2

的定义域为{-1，1}，即y=0，则函数既是偶函数，又是奇函数，故②错；
③函数f（x）的定义域是[-2，2]，令-2≤x+1≤2，
则-3≤x≤1，则函数f（x+1）的定义域为[-3，1]，故③错；
④画出曲线y=|3-x²|，直线y=a，
则曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，m=0，2，3，4，则m的值不可能是1，故④对．
故选：B．

点评：本题考查函数的奇偶性及运用，抽象函数的定义域和函数的图象，以及二次方程实根的分布，属于基础题．