Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

2a+b

c

=

cos(A+C)

cosC

（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．

解答： 解：（1）∵A+C=π-B，即cos（A+C）=-cosB，
∴由正弦定理化简已知等式得：

2sinA+sinB

sinC

=

-cosB

cosC

，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=-sinCcosB，即-2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=-

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

2π

3

；
（Ⅱ）∵c=2，cosC=-

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤

4

3

，（当且仅当a=b时成立），
∵S=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

3

，
∴当a=b时，△ABC面积最大为

3

3

，此时a=b=

2 3

3

，
则当a=b=

2 3

3

时，△ABC的面积最大为

3

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．