Question

已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx+1．
（1）求f（x）的周期、最值；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简函数解析式为，利周期公式求出f（x）的最小正周期和最值．
（2）根三角函数的单调性的性质即可得到f（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2sinxcosx+1=（2cos²x-1）+2sinxcosx+2=cos2x+sin2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
则f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
当sin（2x+

π

4

）=1时，函数f（x）取得最大值

2

+2．
当sin（2x+

π

4

）=-1时，函数f（x）取得最小值2-

2

．
（2）由-

π

2

+2kπ≤x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，周期性及其求法，化简函数解析式为，是解题的关键．