Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：S_n为数列{a_n}的前n项和，且2，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n²=（

1

2

） bn，c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由2，a_n，S_n成等差数列得到数列递推式，求出首项，取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a_n}是等比数列，由等比数列的通项公式得到数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）中求得的a_n代入a_n²=（

1

2

） bn，求出b_n后代入c_n=

bn

an

，然后利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和．

解答： 解：（1）由题意知2a_n=S_n+2，①
当n=1时，2a₁=a₁+2，a₁=2．
当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2，②
①-②得：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
∴通项公式为an=a1qn-1=2n；
（2）由a_n²=（

1

2

） bn，得
bn=log

1

2

an2=-log222n=-2n，
∴c_n=

bn

an

=

-2n

2n

=-

n

2n-1

．
∴数列{c_n}的前n项和Tn=-

1

20

-

2

21

-

3

22

-…-

n-1

2n-2

-

n

2n-1

，

1

2

Tn=-

1

21

-

2

22

-

3

23

-…-

n-1

2n-1

-

n

2n

．
两式作差得：

1

2

Tn=-1-

1

2

-

1

22

-…-

1

2n-1

+

n

2n

=-

1- 1 2n

1- 1 2

+

n

2n

．
∴Tn=

n

2n-1

+

1

2n-2

-4．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．