Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=

x

x+1

的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：弦A_nA_n+1的斜率随n的增大而增大；
（3）若数列{b_n}满足a_n•b_n=2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n的值．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

1

an+1

-

1

an

=1，又

1

a1

=1，由此能求出a_n=

1

n

．
（2）弦A_nA_n+1的斜率k=

an+2-an+1

an+1-an

1 n+2 - 1 n+1

1 n+1 - 1 n

=

n(n+1)

(n+1)(n+2)

=

1

1+ 2 n

，由此能证明弦A_nA_n+1的斜率随n的增大而增大．
（3）由已知条件得b_n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n的值．

解答： （1）解：∵数列{a_n}的首项a₁=1，且点A_n（a_n，a_n+1）在函数y=

x

x+1

的图象上，
∴

an

an+1

=an+1，a_na_n+1=a_n-a_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，又

1

a1

=1，
∴{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴

1

an

=1+（n-1）=n．
∴a_n=

1

n

．
（2）证明：由（1）知弦A_nA_n+1的斜率k=

an+2-an+1

an+1-an

，
k=

1 n+2 - 1 n+1

1 n+1 - 1 n

=

n(n+1)

(n+1)(n+2)

=

n

n+2

=

1

1+ 2 n

，
n越大，则1+

2

n

越小，

1

1+ 1 n

越大，
∴弦A_nA_n+1的斜率随n的增大而增大．
（3）解：∵数列{b_n}满足a_n•b_n=2ⁿ，a_n=

1

n

，
∴b_n=n•2ⁿ，
∴S_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查弦的斜率随n的增大而增大的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．