Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx-1，a∈R
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，y₀）处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x+

1

2

）在x∈[0，e]上有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据曲线y=f（x）在P（1，y₀）处的切线平行于直线y=-x+1，求出函数的字母系数，对函数求导，使得导函数大于0，在定义域中求出函数的单调区间．
（2）若函数y=f（x+

1

2

）在x∈[0，e]上有两个零点，等价为f（x）在[

1

2

，e+

1

2

]上有两个零点，求函数的导数，利用极值关系即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵y=f（x）在点P（1，y₀）处的切线平行于直线y=-x+1，
∴f′（1）=-1，
∵f（x）=

a

x

+lnx-1，
∴f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
则f′（1）=1-a=-1，解得a=2，
此时f′（x）=

x-a

x2

=

x-2

x2

，
由f′（x）＞0，解得x＞2，此时函数单调递增，增区间为（2，+∞），
由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，此时函数单调递增，减区间为（0，2）．
（2）∵f′（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
∴f（x）在0＜x＜a时递减，x＞a时递增，x=a处达到最小值f（a）=lna，
若y=f（x+

1

2

）在x∈[0，e]上有两个零点，
说明f（x）在[

1

2

，e+

1

2

]上有两个零点，
则首先a∈[

1

2

，e+

1

2

]，否则f（x）在[

1

2

，e+

1

2

]上单调，不可能有两个零点，
然后一定有f（a）＜0，f（

1

2

）≥0，f（e+

1

2

）≥0，
即lna＜0，解得a＜1，
由2a+ln

1

2

-1≥0，得到a≥

1

2

（1+ln2），
即

1

2

（1+ln2）≤a＜1．

点评：本题考查函数的综合题目，解题的关键是根据函数的导函数的正负确定函数的单调区间，本题还要注意恒成立问题．