Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=

4an+4

an+4

（1）求证：数列{

an+2

an-2

}为等比数列；
（2）设m，n，p∈N^*，m＜n＜p，问：数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_p，使a_m，a_n，a_p成等差数列，如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据

an+1+2

an+1-2

=

4an+4 an+4 +2

4an+4 an+4 -2

=3×

an+2

an-2

，即可证明；
（2）若存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，代入化简可得5（3^m-1-3^n-1）（5×3^p-1-1）=（5×3^n-1-1）（5×3^m-1-1），根据左边是5的倍数，右边不是5的倍数，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵a_n+1=

4an+4

an+4

，
∴

an+1+2

an+1-2

=

4an+4 an+4 +2

4an+4 an+4 -2

=3×

an+2

an-2

，
∴{

an+2

an-2

}是以5为首项，3为公比的等比数列，
（2）解：由（1）知

an+2

an-2

=5×3^n-1，
∴a_n=

4

5×3n-1-1

+2，
若存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，
∴2（

4

5×3n-1-1

+2）=

4

5×3m-1-1

+2+

4

5×3p-1-1

+2，
化简得5（3^m-1-3^n-1）（5×3^p-1-1）=（5×3^n-1-1）（5×3^m-1-1），
∵左边是5的倍数，右边不是5的倍数，
∴数列{a_n}中不存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列．

点评：在解答的过程当中充分体现了数列与函数的思想、数学化归的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．