Question

过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）外一点A（m，0）作一直线l交椭圆于P、Q两点，又Q关于x轴对称点为Q₁，连结PQ₁交x轴于点B．
（1）若

AP

=λ

AQ

，求证：

PB

=λ

BQ1

；
（2）求证：点B为一定点（

a2

m

，0）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线l过A（m，0）与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得Q的坐标，由

AP

=λ

AQ

，即可证明

PB

=λ

BQ1

；
（2）先确定mxB=

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

，再得出x12-λ2x22=a²（1-λ²），即可证明点B为一定点（

a2

m

，0）．

解答： 证明：（1）设直线l过A（m，0）与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
而Q₁与Q关于x轴对称，则Q₁（x₂，-y₂），
由

AP

=λ

AQ

，则y₁-0=λ（y₂-0），
∴0-y₁=λ（0-y₂），
∴

PB

=λ

BQ1

．  …（6分）
（2）由

AP

=λ

AQ

，则m=

x1-λx2

1-λ

  …①
由

PB

=λ

BQ1

，则xB=

x1+λx2

1+λ

  …②
由①×②得 mxB=

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

   …③
又

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1  …④

x22

a2

+

y22

b2

=1 …⑤
∵y₁=λy₂，由④-⑤•λ²得x12-λ2x22=a²（1-λ²），…⑥
由③⑥可知mx_B=a²．
∴x_B=

a2

m

．
∴点B为一定点（

a2

m

，0）．                         …（13分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．