Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=1，∠APB=∠DPC=90°，∠BPC=∠APD=60°．
（Ⅰ）求证：底面ABCD为矩形；
（Ⅱ）在DC取一点M，使得PB⊥平面PAM，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面的基本性质及推论,点、线、面间的距离计算

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由条件得到△PAB≌△PDC，△PBC≌△PAD，从而得AB=DC，BC=AD，即底面ABCD为平行四边形，取BC，AD的中点分别为E，F，证得BC⊥平面PEF，从而AB⊥BC，结论成立；
（Ⅱ）首先证得AM⊥平面PBD，从而∠APN为直线PA与平面PBD所成的角，通过解△ABD，求出AN，sin∠APN，即可得到答案．

解答： （Ⅰ）证明∵PA=PB=PC=PD=1，∠APB=∠DPC=90°，∠BPC=∠APD=60°，
∴△PAB≌△PDC，△PBC≌△PAD，
∴AB=DC，BC=AD，
∴底面ABCD为平行四边形，
取BC，AD的中点分别为E，F，则BC⊥PE，AD⊥PF，又BC∥AD，
∴BC⊥PF，∴BC⊥平面PEF，BC⊥EF，
显然AB∥EF，∴AB⊥BC，∴底面ABCD为矩形；
（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，则PO⊥底面ABCD，
∵PB⊥平面PAM，∴PB⊥AM，
又AM⊥PO，∴AM⊥平面PBD，
设AM∩平面PBD=N，
∴∠APN为直线PA与平面PBD所成的角．
在△ABD中，AN=

AB•AD

BD

=

2

3

，
sin∠APN=

AN

AP

=

6

3

．
∴直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为

6

3

．

点评：本题考查空间直线与平面垂直的判定和性质，考查直线与平面所成的角的大小，考查基本的运算能力，属于基础题．