Question

已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对于任意x₁、x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），若g（x）=log₂f（x），则g（x）的图象可以是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，利用赋值法，先求出f（0）=1，即g（0）=0，再根据复合函数的单调性得g（x）在其定义域上为增函数，问题的以判断．

解答： 解：∵g（x）=log₂f（x），
∴f（x）＞0
任意x₁、x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），
令x₁=x₂=0，则f（0）=f（0）•f（0），
∴f（0）=1，
∴g（0）=log₂f（0）=0，
∴g（x）的图象通过原点，
∵函数f（x）是定义在R上的单调函数，而y=log₂x也是单调函数，
∴g（x）=log₂f（x）再其定义域上也为单调函数．
只有选项C符合，
故选：C．

点评：本题主要考查了函数的复合函数的单调性以及利用赋值法解决抽象函数，属于中档题．