Question

已知函数f（x）=xlnx+ax在x=

1

e

处取得极小值．
（Ⅰ）若不等式f（x）-bx+e≥0对一切x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围；
（Ⅱ）若m，n∈（0，e），且m+n=e，求证：f（m）+f（n）＞0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先确定f（x）=xlnx，再构造函数g（x）=f（x）-bx+e=xlnx-bx+e（x＞0），利用导数研究g（x）的单调性，得到[g（x）]_min，由此即可得到实数b的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=2，f（x）-bx+e≥0，x=e时等号成立，可得（m）＞2m-e，f（n）＞2n-e，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1．
∵函数f（x）=ax+xlnx在x=

1

e

处取得极小值，
∴ln

1

e

+1+a=0，
∴a=0，
∴f（x）=xlnx，
令g（x）=f（x）-bx+e=xlnx-bx+e（x＞0），则g′（x）=lnx+1-b，
由g′（x）＞0得，x＞e^b-1，∴g（x）在（e^b-1，+∞）上递增，
由g′（x）＜0得，0＜x＜e^b-1，∴g（x）在（0，e^b-1）上递减，
∴g（x）_min=g（e^b-1）≥0，
可得b≤2，实数b的取值范围为（-∞，2]．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知b=2，f（x）-bx+e≥0，x=e时等号成立，
∵m，n∈（0，e），且m+n=e，
∴f（m）＞2m-e，f（n）＞2n-e，
∴f（m）+f（n）＞2（m+n）-2e=0，
∴f（m）+f（n）＞0．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题，着重考查构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．