Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

2

2

，且点M（-1，

2

2

）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l过椭圆的右焦点F₂，且与椭圆交于A，B两点，求|AB|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设l的方程为my=x-1，将其代入椭圆方程，得（m²+2）y²+2my-1=0，由此利用韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知条件能求出|AB|的最小值．

解答： 解：（1）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，
离心率e=

2

2

，且点M（-1，

2

2

）在椭圆上，
∴

c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）由（1）知椭圆右焦点为F₂（1，0），设l的方程为my=x-1，
将其代入椭圆方程，得（m²+2）y²+2my-1=0，…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得y₁+y₂=-

2m

m2+2

，y₁y₂=-

1

m2+2

，…（8分）
∴|AB|²=（1+m²）[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]=8（

1+m2

m2+2

）²，…（10分）．
令t=

1+m2

m2+2

=1-

1

m2+2

，易知当m=0时，t_min=

1

2

∴|AB|²_min=2，即|AB|的最小值是

2

．…（12分）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．