Question

(温州十校模拟)如下图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD，四边形ABCD是矩形．E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，．

(1)求证：AF∥平面PCE；

(2)求点F到平面PCE的距离；

(3)求直线FC与平面PCE所成角的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)取PC的中点G，连结EG，FG， 又由F为PD的中点，则． 又由已知有，∴FGAE． ∴四边形AEGF是平行四边形． ∴AE∥EG． 又 平面PCE，平面PCE． ∴AF∥平面PCE．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分) (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴平面PAD⊥ABCD． 由ABCD是矩形有CD⊥AD． ∴CD⊥平面PAD．∴AF⊥CD． 又PA=AD=3，F是PD的中点，∴AF⊥PD． ∵PD∩CD=D，∵AF⊥平面PCD． 由EG∥AF，∴EG⊥平面PCD． ∴在平面PCD内，过F作FH⊥PC于H， 由于平面PCD∩平面PCE=PC，则FH的长就是点F到平面PCE的距离． (8分) 由已知可得 ，，． 由于CD⊥平面PAD，∴∠CPD=30°． ∴． ∴点F到平面PCE的距离为．　　　　　　　　　　　　　(10分) (3)由(2)知∠FCH为直线FC与平面PCE所成的角． 在Rt△CDF中，，， ∴． ∴． ∴直线FC与平面PCE所成角的大小为．　　　　　　(14分)