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在半径为r的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,则经过的最短路程是( )
A.2πr
B.
C.
D.
【答案】分析:球面上两点之间最短的路径是大圆(圆心为球心)的劣弧的弧长,因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和,利用内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,经过的最短路程为:一个半圆一个 圆即可解决.
解答:解:由题意可知,球面上两点之间最短的路径是大圆(圆心为球心)的劣弧的弧长,
内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上,一个动点从三棱锥的
一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,
例如动点从A到S,再到C,到B回到A,
∠SOA=∠SOC=90°,∠COB=∠BOA=60°,
则经过的最短路程为:一个半圆一个 圆,
即:=
故选B.
点评:本题考查球的内接多面体,球面距离,考查空间想象能力,是中档题.解答的关键是从整体上考虑球面距离的计算.
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