Question

在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（　　）

• A．2πr
• B．

  7

  3

  πr
• C．

  8

  3

  πr
• D．

  7

  6

  πr

Answer 1

分析：球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个

2

3

圆即可解决．

解答：解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，
内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的
一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，
例如动点从A到S，再到C，到B回到A，
∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，
则经过的最短路程为：一个半圆一个

2

3

圆，
即：rπ+

2

3

×2rπ=

7πr

3

故选B．

点评：本题考查球的内接多面体，球面距离，考查空间想象能力，是中档题．解答的关键是从整体上考虑球面距离的计算．