Question

14．如图EF为两条直线l₁、l₂的公垂线段，且EF=9，点B、D分别在两平行直线上运动，且A、B、C、D满足$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0．
（1）如图1，若点B，D在线段EF同侧运动，且∠BAD=60°，试求四边形ABCD的面积；
（2）如图2，若点B，D在线段EF异侧侧运动，试求四边形ABCD的面积的最小值；

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0得出四边形ABCD是菱形；在Rt△FAD与Rt△ABF中，由∠BAD=60°，利用三角恒等变换求出边长AD的值，再计算菱形ABCD的面积；
（2）设∠ABC=α，∠CBF=β，在Rt△AED与Rt△ABF中，得出α与β的关系，写出菱形ABCD面积表达式，再利用三角函数的图象与性质求出它的最小值即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，∴四边形ABCD是菱形；
又∵$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{AE}$，EF=9，∴AE=3，AF=6；
设AD=x，在Rt△FAD与Rt△ABF中，
cos∠EAD=$\frac{3}{x}$，cos∠FAB=$\frac{6}{x}$，
sin∠EAD=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-9}}{x}$，sin∠FAB=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-36}}{x}$；
又∠BAD=60°，∴∠EAD+∠FAB=120°，
∴cos（∠EAD+∠FAB）=-$\frac{1}{2}$，
即$\frac{3}{x}$•$\frac{6}{x}$-$\frac{\sqrt{{x}^{2}-9}}{x}$•$\frac{\sqrt{{x}^{2}-36}}{x}$=-$\frac{1}{2}$，
解得x=2$\sqrt{21}$；
∴菱形ABCD的面积为S=x²•sin60°=42$\sqrt{3}$；
（2）设∠ABC=α，∠CBF=β，其中α∈（0，$\frac{π}{3}$），β∈（0，$\frac{π}{6}$）；
再设AB=x，则在Rt△AED与Rt△ABF中，有$\left\{\begin{array}{l}{xsinβ=3}\\{xsin（α+β）=6}\end{array}\right.$；
两式相除得sin（α+β）=2sinβ，
由此可得tanβ=$\frac{sinα}{2-cosα}$，
∴菱形ABCD的面积为
S′=x²sinα=$\frac{9}{{sin}^{2}β}$•sinα=9sinα•（1+$\frac{1}{{tan}^{2}β}$）=9•$\frac{5-4cosα}{sinα}$；
令t=$\frac{5-4cosα}{sinα}$，则tsinα+4cosα=5，
∴$\sqrt{{t}^{2}+16}$sin（α+φ）=5，
∴sin（α+φ）=$\frac{5}{\sqrt{{t}^{2}+16}}$≤1，
解得t≥3；
∴当t=3时，3sinα+4cosα=5，
此时sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$符合题意；
∴菱形ABCD面积的最小值为27．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．