Question

19．设命题p：函数f（x）=lg（x²-x+$\frac{1}{16}$a²）的定义域为R，q：?m∈[-1，1]，a²-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p，q成立的等价条件，结合命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，得到p，q一真一假，然后进行求解即可．

解答 解：命题p：若函数f（x）=lg（x²-x+$\frac{1}{16}$a²）的定义域为R，
则x²-x+$\frac{1}{16}$a²＞0恒成立，
即判别式△=1-$\frac{1}{4}$a²＜0，
即a²＞4，解得a＞2或a＜-2．…（1分）
命题q：∵m∈[-1，1]，∴$\sqrt{{m}^{2}+8}$∈[2$\sqrt{2}$，3]．
∵对m∈[-1，1]，不等式a2-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立，可得a²-5a-3≥3，
即a²-5a-6≥0，
∴a≥6或a≤-1．
故命题q为真命题时，a≥6或a≤-1．…（3分）
命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p，q一真一假…（4分）
（1）若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜-2或a＞1}\\{-1＜a＜6}\end{array}\right.$，解得2＜a＜6     …（8分）
（2）若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤2}\\{a≤0或a≥6}\end{array}\right.$，解得-2≤a≤-1     …（10分）
综上（1）（2）所述：-2≤a≤-1或2＜a＜6为所求的取值范围．…（12分）

点评 本题主要考查复合命题的真假的判断，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．