Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），a₂=4，S₅=35．
（1）求数列{a_n}的前n项和为S_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=2^a_n，求证：数列{b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过设数列{a_n}的首项为a₁、公差为d，利用a₂=4、S₅=35计算即得结论；
（2）通过（1）可知${b_n}={2^{3n-2}}$，即得数列{b_n}构成首项为2、公比为8的等比数列，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 （1）解：设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
则$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=4\\ 5{a_1}+\frac{5（5-1）}{2}d=35\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=3\end{array}\right.$，
∴a_n=3n-2（n∈N^*），
∴前n项和${S_n}=\frac{n（1+3n-2）}{2}=\frac{n（3n-1）}{2}$（n∈N^*）；
（2）证明：∵a_n=3n-2（n∈N^*），
∴${b_n}={2^{3n-2}}$（n∈N^*），
∴b₁=2≠0，$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=8$（n∈N^*），
∴数列{b_n}构成首项为2、公比为8的等比数列，
∴数列{b_n}的前n项的和${T_n}=\frac{2}{7}（{8^n}-1）$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．