Question

19．设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，且对任意x₁，x₂∈[1，a]（a＞1），当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．给出下列四个结论：
①f（a）＞f（0）②f（$\frac{1+a}{2}$）＞f（$\sqrt{a}$）
③f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（3）④f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（a）
其中所有的正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 根据题意确定出f（x）为奇函数，且f（x）在区间[1，a]上是单调增函数，根据a的范围，利用增减性即可做出判断．

解答 解：∵对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，
∴函数f（x）是奇函数，
∵对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）＞0，
∴函数f（x）在区间[1，a]上是单调增函数，
∵a＞1，∴①f（a）＞f（0）一定成立；
∵$\frac{1+a}{2}$＞$\sqrt{a}$＞1，∴②f（$\frac{1+a}{2}$）＞f（$\sqrt{a}$）一定成立；
∵$\frac{1-3a}{1+a}$-（-a）=$\frac{（a-1）^{2}}{1+a}$＞0，∴$\frac{1-3a}{1+a}$＞-a，
∴a＞$\frac{3a-1}{1+a}$=3-$\frac{4}{1+a}$≥1，
∴-a＜$\frac{1-3a}{1+a}$，
由奇函数的对称性知：f（$\frac{1-3a}{1+a}$＞f（a），故④正确；
由3＞$\frac{3a-1}{1+a}$＞0，但3，$\frac{3a-1}{1+a}$是否在[1，a]上不能确定，故f（3）和f（$\frac{3a-1}{1+a}$）的大小不能确定，故③错误，
则正确的为①②④．
故答案为：①②④

点评 此题考查了抽象函数及其应用，熟练掌握函数的奇偶性及增减性是解本题的关键．