Question

7．若数列{a_n}是首项为6-12t，公差为6的等差数列；数列{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t，其中t为实常数．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N^*），均存在正整数C_n，使得b_n+1=a${\;}_{{c}_{n}}$，并求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设数列{d_n}满足d_n=a_n•b_n，若{d_n}中不存在这样的项d_k，使得“d_k＜d_k-1”与“d_k＜d_k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N^*），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接由等差数列的通项公式求得数列{a_n}的通项，由{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t，得到当n≥2时，${b}_{n}=（{3}^{n}-t）-（{3}^{n-1}-t）=2•{3}^{n-1}$，再求出首项，可得数列{b_n}的通项公式；
（2）由数列{b_n}是等比数列求得t=1，代入数列{a_n}的通项公式，再由${b}_{n+1}=2•{3}^{n}=6•{3}^{n-1}=6（{3}^{n-1}+2）-12$，可得${a}_{{c}_{n}}=6（2+{3}^{n-1}）-12={b}_{n+1}$，利用数列的分组求和可得数列{c_n}的前n项和T_n=2n+$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}=\frac{1}{2}×{3}^{n}+2n-\frac{1}{2}$；
（3）由题意得${d}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{6（3-t）（1-2t），n=1}\\{4（n-2t）•{3}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，进一步得到当n≥2时，${d}_{n+1}-{d}_{n}=4（n+1-2t）•{3}^{n+1}-4（n-2t）•{3}^{n}$=$8[n-（2t-\frac{3}{2}）]•{3}^{n}$，然后分2t-$\frac{3}{2}$＜2，2≤2t$-\frac{3}{2}＜3$，m$≤2t-\frac{3}{2}＜m+1$（m∈N，m≥2）结合已知条件列式求得t的取值范围．

解答 （1）解：∵数列{a_n}是等差数列，且a₁=6-12t，d=6，
∴a_n=（6-12t）+6（n-1）=6n-12t，而数列{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t，
∴当n≥2时，${b}_{n}=（{3}^{n}-t）-（{3}^{n-1}-t）=2•{3}^{n-1}$．
又b₁=S₁=3-t，
∴${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3-t，n=1}\\{2•{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）证明：∵数列{b_n}是等比数列，∴3-t=2•3^1-1=2，即t=1．
∴a_n=6n-12．
对于任意的n（n∈N^*），由于${b}_{n+1}=2•{3}^{n}=6•{3}^{n-1}=6（{3}^{n-1}+2）-12$，
令${c}_{n}={3}^{n-1}+2$，则${a}_{{c}_{n}}=6（2+{3}^{n-1}）-12={b}_{n+1}$，
∴命题成立．
数列{c_n}的前n项和T_n=2n+$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}=\frac{1}{2}×{3}^{n}+2n-\frac{1}{2}$；
（3）由题意得${d}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{6（3-t）（1-2t），n=1}\\{4（n-2t）•{3}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
由于当n≥2时，${d}_{n+1}-{d}_{n}=4（n+1-2t）•{3}^{n+1}-4（n-2t）•{3}^{n}$=$8[n-（2t-\frac{3}{2}）]•{3}^{n}$，
①若2t-$\frac{3}{2}$＜2，即$t＜\frac{7}{4}$，则d_n+1＞d_n，
∴当n≥2时，{d_n}是递增数列，
故由题意得：d₁≤d₂，即6（3-t）（1-2t）≤36（2-2t），解得：$\frac{-5-\sqrt{97}}{4}≤t≤\frac{-5+\sqrt{97}}{4}$$＜\frac{7}{4}$；
②若2≤2t$-\frac{3}{2}＜3$，即$\frac{7}{4}≤t＜\frac{9}{4}$，则当n≥3时，{d_n}是递增数列，
故由题意得：d₂=d₃，即4（2t-2）•3²=4（2t-3）•3³，解得t=$\frac{7}{4}$；
③若m$≤2t-\frac{3}{2}＜m+1$（m∈N，m≥2），即$\frac{m}{2}+\frac{3}{4}≤t＜\frac{m}{2}+\frac{5}{4}$（m∈N，m≥2），
则当2≤n≤m时，{d_n}是递减数列，当n≥m+1时，{d_n}是递增数列，
则由题意得：d_m=d_m+1，即4（2t-m）•3^m=4（2t-m-1）•3^m+1，解得t=$\frac{2m+3}{4}$．
综上所述，t的取值范围是$\frac{-5-\sqrt{97}}{4}≤t≤\frac{-5+\sqrt{97}}{4}$或t=$\frac{2m+3}{4}$（m∈N，m≥2）．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，（Ⅲ）的求解考查了分类讨论的数学思想方法，考查学生的推理论证能力、逻辑思维能力和运算能力，综合性强，难度较大．