Question

15．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x-b（a，b∈R）在x=0处取得极值．
（1）若函数f（x）在区间[-1，1]上有两个零点，求实数b的取值范围．
（2）证明：$\frac{2}{1^2}$+$\frac{3}{2^2}$+$\frac{4}{3^2}$+…+$\frac{n+1}{n^2}$＞ln（n+1）（n∈N₊）

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1=$\frac{1-2x（x+a）-（x+a）}{x+a}$，从而可得$\frac{1-a}{a}$=0，从而解得a=1；再求得f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减；从而解得；
（2）由（1）得ln（x+1）≤x²+x（当且仅当x=0时，等号成立）；再设x=$\frac{1}{n}$，从而可得ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$；从而证明即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1=$\frac{1-2x（x+a）-（x+a）}{x+a}$，
且f′（0）=0，
∴$\frac{1-a}{a}$=0，即a=1；
∴f（x）=ln（x+1）-x²-x-b，
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x-1=$\frac{-2x（x+\frac{3}{2}）}{x+1}$（x＞-1）；
由f′（x）＞0得-1＜x＜0；
由f′（x）＜0得x＞0；
∴f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
问题等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-b＞0}\\{ln2-2-b＜0}\end{array}\right.$，解得ln2-2＜b＜0；
即实数b的取值范围为（ln2-2，0）；
（2）证明：由（1）得，当b=0时，函数f（x）在（-1，+∞）上的最大值为f（0）=0；
即ln（x+1）≤x²+x（当且仅当x=0时，等号成立）；
设x=$\frac{1}{n}$，得ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{n}$，∴ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$；
取n=1，2，3，…，n依次相加可得，
ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$；
即$\frac{2}{1^2}$+$\frac{3}{2^2}$+$\frac{4}{3^2}$+…+$\frac{n+1}{n^2}$＞ln（n+1）（n∈N₊）．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数零点的应用，属于中档题．