Question

10．如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点E，证明四边形ABME为平行四边形，可得BM∥EA，BM再根据直线和平面平行的判定定理证得BM∥平面PAD．
（2）以A为原点，以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设N（0，y，z），由$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{PB}$=0、$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DB}$=0，求得y、z的值，可得N的坐标．
（3）设直线PC与平面PBD所成的角为θ，设$\overrightarrow{PC}$与 $\overrightarrow{MN}$的夹角为α，由cosα=$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{MN}|}$的值，求得 sinθ=-cosα 的值．

解答 解：（1）∵M是PC的中点，取PD的中点E，则ME∥$\frac{1}{2}CD$，且ME=$\frac{1}{2}CD$．
又AB∥$\frac{1}{2}$CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，∴ME和AB平行且相等，故四边形ABME为平行四边形．
∴BM∥EA，再根据BM?平面PAD，EA?平面PAD，可得，∴BM∥平面PAD．
（2）以A为原点，以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则B（1，0，0）），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），M（1，1，1），E（0，1，1）．
在平面PAD内，设N（0，y，z），则$\overrightarrow{MN}$=（-1，y-1，z-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{DB}$=（1，-2，0），
由$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{PB}$，可得$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{PB}$=-1-2z+2=0，∴$z=\frac{1}{2}$．
由$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{DB}$，可得$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{DB}$=-1-2y+2=0，∴y=$\frac{1}{2}$．
∴$N（{0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，∴N是AE的中点，此时MN⊥平面PBD．
（3）设直线PC与平面PBD所成的角为θ，∵$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{MN}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
设$\overrightarrow{PC}$与 $\overrightarrow{MN}$的夹角为α，则cosα=$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{MN}|}$=$\frac{-2}{2\sqrt{3}•\frac{\sqrt{6}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴sinθ=-cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故直线PC与平面PBD所成角的正弦为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求平面的法向量，直线和平面所成的角的求法，体现了转化的数学思想，属于中档题．