【题目】已知椭圆(
)的离心率为
,短轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
交于不同的两点
,且线段
的垂直平分线过定点
,求实数
的取值范围.
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【题目】如图所示,在直角坐标系中,点
到抛物线
的准线的距离为
,点
是
上的定点,
、
是
上的两个动点,且线段
的中点
在线段
上.
(1)抛物线的方程及
的值;
(2)当点、
分别在第一、四象限时,求
的取值范围.
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【题目】已知函数在区间
上有最大值4,最小值1,设函数
.
(1)求、
的值及函数
的解析式;
(2)若不等式在
时恒成立,求实数
的取值范围;
(3)如果关于的方程
有三个相异的实数根,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,和
都是正三角形,
, E、F分别是AC、BC的中点,且PD⊥AB于D.
(Ⅰ)证明:直线⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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【题目】某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱AB与底面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直,路灯C采用锥形灯罩,射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示,路宽AD=24米,设
(1)求灯柱AB的高h(用表示);
(2)此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小?最小值为多少?
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【题目】如图,小凳凳面为圆形,凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因素,设计的小凳应满足:三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心
的连线垂直于凳面和地面,且
分细钢管上下两段的比值为
,三只凳脚与地面所成的角均为
.若
、
、
是凳面圆周的三等分点,
厘米,求凳子的高度
及三根细钢管的总长度(精确到
).
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【题目】如图,四棱锥PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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