【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,和
都是正三角形,
, E、F分别是AC、BC的中点,且PD⊥AB于D.
(Ⅰ)证明:直线⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据正三角形的性质和面面垂直的性质得面
,继而可得出
,由线面垂直的判断可得证;
(Ⅱ)以点E为坐标原点,EA所在的直线为x轴,EB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系如图示,,得出点的坐标,继而求得面的法向量,根据二面角的坐标计算公式可得出二面角的正弦值.
(Ⅰ)∵E、F分别是AC、BC的中点,∴EF//AB,
在正三角形PAC中,PE⊥AC,又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,
∴PE⊥平面ABC,∴且PE⊥AB,又PD⊥AB,PE
PD=P,
∴AB⊥平面PED, 又
//
,
∴,又
,
,
∴直线⊥平面
.
(Ⅱ)∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BE⊥AC,
∴BE⊥平面PAC,
以点E为坐标原点,EA所在的直线为x轴,EB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系如图示:
则,
,
,
设为平面PAB的一个法向量,则由
得
,令
,得
,即
,
设二面角的大小为
,则
,则
,
,
即二面角的正弦值为
.
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【题目】已知函数的图象是自原点出发的一条折线,当
(
)时,该图象是斜率为
的线段,其中常数
且
,数列
由
(
)定义.
(1)若,求
,
;
(2)求的表达式及
的解析式(不必求
的定义域);
(3)当时,求
的定义域,并证明
的图象与
的图象没有横坐标大于1的公共点.
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【题目】某专卖店销售一新款服装,日销售量(单位为件)f(n) 与时间n(1≤n≤30、nN*)的函数关系如下图所示,其中函数f(n) 图象中的点位于斜率为 5 和-3 的两条直线上,两直线交点的横坐标为m,且第m天日销售量最大.
(Ⅰ)求f(n) 的表达式,及前m天的销售总数;
(Ⅱ)按以往经验,当该专卖店销售某款服装的总数超过 400 件时,市面上会流行该款服装,而日销售量连续下降并低于 30 件时,该款服装将不再流行.试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过 10 天?请说明理由.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别是
,
是椭圆外的动点,满足
.点
是线段
与该椭圆的交点,点
在线段
上,并且满足
,
.
(1)当时,用点P的横坐标
表示
;
(2)求点的轨迹
的方程;
(3)在点的轨迹
上,是否存在点
,使
的面积
?若存在,求出
的正切值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知集合是满足下列性质的函数
的全体:存在实数
、
,对于定义域内任意
,均有
成立,称数对
为函数
的“伴随数对”.
(1)判断函数是否属于集合
,并说明理由;
(2)若函数,求满足条件的函数
的所有“伴随数对”;
(3)若、
都是函数
的“伴随数对”,当
时,
,当
时,
,求当
时,函数
的解析式和零点.
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【题目】已知椭圆C:(
)的焦距为
,且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线l与椭圆C交于
、
,且在椭圆C上存在点M,使得:
(其中O为坐标原点),则称直线l具有性质H.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l垂直于x轴,且具有性质H,求直线l的方程;
(3)求证:在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R,使得直线、
、
都具有性质H.
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