【题目】已知函数的图象是自原点出发的一条折线,当
(
)时,该图象是斜率为
的线段,其中常数
且
,数列
由
(
)定义.
(1)若,求
,
;
(2)求的表达式及
的解析式(不必求
的定义域);
(3)当时,求
的定义域,并证明
的图象与
的图象没有横坐标大于1的公共点.
【答案】(1),
; (2)
;
时,
,(
); (3)
的定义域为
,证明见解析.
【解析】
(1)由题意知,
,当
时,
图像是斜率为
的线段,所以
,即可求出
,同理求出
;(2) 当
时,
,得
,利用累加法可求得
,当
时,即
时,
化简即可求得
的解析式;(3) 当
时,
,
的定义域为
,证明
,
时,恒有
成立,运用
的解析式结合不等式的性质即可得到结论.
(1)由,
,当
时,
图像是斜率为
的线段,
∴,
∴,又
及
,
∴,
∴即
.
(2)由(1)知,,
;
因为当时,
,
,
所以
∴
而此式对也成立,所以
又当时,
,∴
即时,
,(
);
(3)当时,
,
的定义域为
下面证明,
时,恒有
成立
事实上,对任总存在
,使得
,于是由
可有
,进而
当时,
,
即,∴
,
综上所述,的图象与
的图象没有横坐标大于1的公共点.
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【题目】李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的
,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
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【题目】已知函数f(x)=sinxcosxcos2x+1
(1)求f(x)的最小正周期和最大值,并写出取得最大值时x的集合;
(2)将f(x)的函数图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)是偶函数,求φ的最小值.
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【题目】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:
月收入(单位百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;
月收入低于55百元的人数 | 月收入不低于55百元的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
参考公式:K2,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,和
都是正三角形,
, E、F分别是AC、BC的中点,且PD⊥AB于D.
(Ⅰ)证明:直线⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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【题目】一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数):第一行是以4为首项,4为公差的等差数列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如:
;
为数表中第
行的第
个数.
…
…
…
……
(1)求第2行和第3行的通项公式和
;
(2)证明:数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列,并求关于
的表达式;
(3)若,
,试求一个等比数列
,使得
,且对于任意的
,均存在实数
,当
时,都有
.
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