【题目】已知椭圆的左右焦点分别是
,
是椭圆外的动点,满足
.点
是线段
与该椭圆的交点,点
在线段
上,并且满足
,
.
(1)当时,用点P的横坐标
表示
;
(2)求点的轨迹
的方程;
(3)在点的轨迹
上,是否存在点
,使
的面积
?若存在,求出
的正切值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=sinxcosxcos2x+1
(1)求f(x)的最小正周期和最大值,并写出取得最大值时x的集合;
(2)将f(x)的函数图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)是偶函数,求φ的最小值.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,和
都是正三角形,
, E、F分别是AC、BC的中点,且PD⊥AB于D.
(Ⅰ)证明:直线⊥平面
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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【题目】某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱AB与底面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直,路灯C采用锥形灯罩,射出的管线与平面ABC部分截面如图中阴影所示,路宽AD=24米,设
(1)求灯柱AB的高h(用表示);
(2)此公司应该如何设置的值才能使制作路灯灯柱AB和灯杆BC所用材料的总长度最小?最小值为多少?
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【题目】已知数列的通项公式为
,其中
,
、
.
(1)试写出一组、
的值,使得数列
中的各项均为正数.
(2)若,
,数列
满足
,且对任意的
(
),均有
,写出所有满足条件的
的值.
(3)若,数列
满足
,其前
项和为
,且使
(
、
,
)的
和
有且仅有
组,
、
、…、
中有至少
个连续项的值相等,其它项的值均不相等,求
、
的最小值.
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【题目】如图,小凳凳面为圆形,凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因素,设计的小凳应满足:三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心
的连线垂直于凳面和地面,且
分细钢管上下两段的比值为
,三只凳脚与地面所成的角均为
.若
、
、
是凳面圆周的三等分点,
厘米,求凳子的高度
及三根细钢管的总长度(精确到
).
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【题目】一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数):第一行是以4为首项,4为公差的等差数列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如:
;
为数表中第
行的第
个数.
…
…
…
……
(1)求第2行和第3行的通项公式和
;
(2)证明:数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列,并求关于
的表达式;
(3)若,
,试求一个等比数列
,使得
,且对于任意的
,均存在实数
,当
时,都有
.
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【题目】已知直线是双曲线
的一条渐近线,点
都在双曲线
上,直线
与
轴相交于点
,设坐标原点为
.
(1)求双曲线的方程,并求出点
的坐标(用
表示);
(2)设点关于
轴的对称点为
,直线
与
轴相交于点
.问:在
轴上是否存在定点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若过点的直线
与双曲线
交于
两点,且
,试求直线
的方程.
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