Question

8．求证：$\frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}$≥$\frac{|a+b|}{1+|a+b|}$．

Answer 1

分析 通过作差、利用|a|+|b|≥|a+b|，整理即得结论．

解答 证明：$\frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}$-$\frac{|a+b|}{1+|a+b|}$
=$\frac{1}{（1+|a|+|b|）（1+|a+b|）}$[（|a|+|b|）（1+|a+b|）-（1+|a|+|b|）|a+b|]
=$\frac{1}{（1+|a|+|b|）（1+|a+b|）}$[|a|+|b|+|a+b|•|a|+|a+b|•|b|-（|a+b|+|a+b|•|a|+|a+b|•|b|）]
=$\frac{1}{（1+|a|+|b|）（1+|a+b|）}$（|a|+|b|-|a+b|）
≥0，
∴$\frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}$≥$\frac{|a+b|}{1+|a+b|}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用作差法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．