Question

在直角坐标系平面上，若一个点的纵、横坐标都是有理数，则称它为有理点，求满足如下条件的最小正整数k；每一个圆周上含有k个有理点的圆，它的圆周上一定含有无穷多个有理点．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：压轴题,推理和证明

分析：首先证明：每一个圆周上含有3个有理点的圆，它的圆周上一定含有无穷多个有理点，再构造一个圆周傻瓜值含有两个有理点的实例，C：(x-

2

)2+(y-

2

)2=6，则P₁（-1，1），P₂（1，-1）都在⊙C的圆周上，可得结论．

解答： 解：首先证明：每一个圆周上含有3个有理点的圆，它的圆周上一定含有无穷多个有理点．
设平面上⊙C₀的圆周上含有3个有理点P_i（x_i，y_i）（i=1，2，3），C₀（x₀，y₀），则
∵线段P₁P₂，P₁P₃的垂直平分线过C₀，
∴

(y2-y1)(y0- y1+y2 2 )+(x2-x1)(x0- x1+x2 2 )=0 (y3-y1)(y0- y1+y3 2 )+(x3-x1)(x0- x1+x3 2 )=0

，
∵x_i，y_i（i=1，2，3）都是有理数，
∴方程组的解（x₀，y₀）都是有理数，
设有理点P_n（x_n，y_n）的坐标为

xn=x0+an(x3-x0)-bn(y3-y0) yn=y0+bn(x3-x0)+an(y3-y0)

，
其中an=

n2-1

n2+1

，bn=

2n

n2+1

（n≥4），
则|PnC0|2=(x3-x0)2+(y3-y0)2=|P3C0|2，
∴P_n（x_n，y_n）都在⊙C₀的圆周上，即圆周上一定含有无穷多个有理点．
其次，构造一个圆周傻瓜值含有两个有理点的实例．
C：(x-

2

)2+(y-

2

)2=6，则P₁（-1，1），P₂（1，-1）都在⊙C的圆周上，
若圆周上含有其它有理点P₃（x₃，y₃），
则(x3-

2

)2+(y-

2

)2=6，
即x32+y32-2=2

3

（x₃+y₃），
因为左边是有理数，

2

是无理数，
所以x₃+y₃=0，
∴x₃=1，y₃=-1或x₃=-1，y₃=1，即是P₁（-1，1），P₂（1，-1），矛盾．
综上所述，k的最小值为3．

点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，证明每一个圆周上含有3个有理点的圆，它的圆周上一定含有无穷多个有理点是关键．