Question

5．若函数f（x）=（x-2）²|x-a|在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是（-∞，2]∪[5，+∞）．

Answer 1

分析 先去绝对值得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}（x-a）}&{x≥a}\\{（x-2）^{2}（a-x）}&{x＜a}\end{array}\right.$，然后对每段函数分别求导：x≥a时，f′（x）=$3（x-2）（x-\frac{2a+2}{3}）$，要使f（x）在[2，4]上单调递增，则需f′（x）≥0，所以需要$\frac{2a+2}{3}≤2$，解出a即可，同样根据第二段函数可再一个a的范围，和前面的a的范围求并集即得实数a的取值范围．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}（x-a）}&{x≥a}\\{（x-2）^{2}（a-x）}&{x＜a}\end{array}\right.$；
∴（1）x≥a时，f′（x）=$3（x-2）（x-\frac{2a+2}{3}）$；
∴要使f（x）在[2，4]上单调递增，只需f′（x）≥0；
∴$\frac{2a+2}{3}≤2$；
解得a≤2；
（2）x＜a时，f′（x）=3（x-2）$（\frac{2a+2}{3}-x）$；
同上面需$\frac{2a+2}{3}≥4$；
解得a≥5；
∴综上得实数a的取值范围是（-∞，2]∪[5，+∞）．

点评 考查积的导数的求导公式，函数单调性和函数导数符号的关系，以及处理绝对值函数的方法：去绝对值，分段函数单调性的处理方法．